LatihanBab 2 1. Tentukan determinan matriks dengan determinan/cramer dan ekspansi kofaktor dan 2. Diketahui : dan Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB) Aljabar Linear 16. 3. Diketahui : Tentukan k jika det (D) = 29 4. Diketahui matriks Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai Aljabar Linear 17. Sifat-sifat determinan 1. Contohnyadiketahui matriks A sebagai berikut: Maka determinan dari matriks A adalah: Determinan untuk matriks 3×3. Salah satu metode untuk mencari determinan dari matriks 3×3 adalah metode Minor-Kofaktor, yaitu dengan cara menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Langkah-langkahnya MenentukanKofaktor dan Adjoin suatu matriks - Ilmu Hitung. Determinan Matriks 4×4 Metode Sarrus - Penma 2B. Handy Wijaya Irawan's Blog: LANGKAH MENYELESAIKAN INVERS MATRIKS ORDO 3X3. Contoh Soal Matriks Adjoin. Menentukan Minor, Kofaktor, Matriks Kofaktor dan Adjoin Matriks. Cara Mencari Determinan dan Invers Matriks | Matematika Kelas 11 A= tentukan determinan A untuk mencari determinan matrik A maka, detA = ad - bc Contoh Soal: A = tentukan determinan A Jawab: det(A) = = 1x5 - 4x2 = -3 Orde 3x3 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Terbagi tiga jenis yaitu: Dengan Minor dan Kofaktor; Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama; Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama Tentukandeterminan matriks A dengan cara ekspansi kofaktor menurut baris kedua Jawab: = 2 (10+7) + 4 (6-28) - 3 (-3-20) = 2 (17) + 4 (-22) -3 (-23) = 15 Jadi det (A) = 15, untuk membuktikannya coba menggunakan cara sarrus atau kofaktor menurut baris lainnya! Artikel Terkait Tags # Aljabar Matriks Pesan dari Muhammad Rahmi Secaraumum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai 1 Ci 1 + ai 2 Ci 2 +. . . + ain Cin Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = aij C 1 j + a 2 j C 2 j +. . . + anj Contoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : 6 MenghitungDeterminan dengan ekspansi kofaktor Misalkan sebuah matriks bujur sangkar berukuran n x n : Sebelum memaparkan penentuan determinan dengan menggunakan operasi baris elementer, perhatikan beberapa definisi berikut : sehingga kita dapat menentukan tak semudah diatas. Dalam menentukan determinan suatu matriks. Dengan menggunakan CaraMencari Determinan Matriks Berordo 3 * 3 - Cara Menentukan Determinan Matriks 3x3 11 Langkah Dengan Gambar : Cara menghitung determinan matriks ordo 3 x 3. yaitu metode sarrus pdf, metode ekspansi kofaktor, dan metode obe bagian pertama ini . Seperti yang kita ketahui, terdapat dua rumus dalam mencari nilai determinannya, . P6Go75. Definisi Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri $a_{ij}$ dinyatakan oleh $M_{ij}$ dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom j dicoret dari A. Bilangan $-1^{i+j}M_{ij}$ dinyatakan oleh $C_{ij}$ dan dinamakan kofaktor entri $a_{ij}$ Minor Minor dari suatu unsur adalah suatu determinan yang dihasilkan setelah terjadi penghapusan baris dan kolom di mana unsur itu terletak. Contoh $M_{12}=\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}$ Kofaktor Kofaktor dari suatu unsur adalah minor unsur itu berikut tanda. Kofaktor dari suatu unsur yang terletak pada garis ke-i dan ke-j dirumuskan sebagai berikut $-1^{i+j}M_{ij}$ dengan i = 1,2,3,.... j = 1,2,3,.... Contoh $\begin{bmatrix}3 & 1 & -4\\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 4 & 8\end{bmatrix}$ Minor entri $a_{ij}$ adalah $M_{11}=\begin{bmatrix}3 & 1 & -4\\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 4 & 8\end{bmatrix}=\begin{vmatrix}5 & 6\\ 4 & 8\end{vmatrix}=16$ Kofaktor $a_{ij}$ adalah $C_{11}=-1^{1+1}M_{11}=M_{11}=16$ Cara cepat menentukan apakah + atau - yaitu $\begin{bmatrix}+ & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots\\ + & - & + & - & + & \cdots\\ - & + & - & + & - & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{bmatrix}$ Contoh soal 1. Diketahui matriks $A=\begin{bmatrix}3 & 5 & 7\\ -2 & 4 & 3\\ 4 & -1 & 2\end{bmatrix}$. Tentukan determinan matriks A dengan cara ekspansi kofaktor menurut baris kedua Jawab $\begin{vmatrix}3 & 5 & 7\\ {\color{Red}-2} &{\color{Red}4} &{\color{Red}3}\\ 4 & -1 &2\end{vmatrix}$ $=-2\begin{vmatrix}5 & 7\\ -1 &2 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}3 & 7\\ 4 &2 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}3 & 5\\ 4 &-1 \end{vmatrix}$ = 210+7 + 46-28 - 3-3-20 = 217 + 4-22 -3-23 = 15 Jadi det A = 15, untuk membuktikannya coba menggunakan cara sarrus atau kofaktor menurut baris lainnya! Dalam menentukkan determinan suatu matriks persegi kita dapat menggunakkan metode Sarrus Baca Menentukan Determinan Matriks Berordo 2x2 dan 3x3. Selain itu, kita juga dapat menggunakan metode Ekspansi Kofaktor. Dengan metode ini, kita dapat menentukan tidak hanya determinan matriks ordo 2×2 atau 3×3 tapi digunakan untuk matriks yang berordo lebih besar lagi seperti, 4×4, 5×5 dan seterusnya. Namun, apa sebenarnya kofaktor tersebut? Jika kita berbicara kofaktor tentu tidak terlepas dari yang namanya minor. Selain dalam penentuan determinan, kofaktor juga diperlukan dalam menentukkan invers suatu matriks. Untuk lebih jelasnya mengenai Minor dan Kofaktor perhatikan definisi berikut. Definisi Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan -1i+jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij. Untuk lebih memahaminnya perhatikan contoh berikut Tentukkan minor dan kofaktor dari matriks Penyelesaian Untuk menentukkan minor M11 berarti kita harus menghapus/coret elemen baris pertama dan kolom pertama dan tentukan determinan submatriks hasil penghapusan/coret tadi. Untuk M12, kita hapus elemen baris pertama dan kolom kedua dan mencari determinan submatriks tersebut dan demikian seterusnya Sedangkan, kofaktor kita tentukan dengan rumus Cij = -1i+jMij C11 = -11+1-9 = -9 C12 = -11+2-7 = 7 C13 = -11+3-8 = -8 C21 = -12+1-26 = 26 C22 = -12+2-16 = -16 C23 = -12+3-2 = 2 C31 = -13+12 = 2 C32 = -13+210 = -10 C33 = -13+36 = 6 Minor dan kofaktor sebenarnya hanya dibedakan oleh nilai positif dan negatif saja atau Mij = ±Cij. Untuk menentukan kapan nilainya positif dan negatif bisa dilihat dari hasil penjumlahan bari dan kolom pada pangkat -1 kofaktor apakah bernilai genap atau ganjil. Jika bernilai genap maka akan berilai positif sedangkan jika ganjil maka bernilai negatif. Sehingga, kita dapat menentukan kofaktor dengan lebih cepat tentunya. Kembali pada bahasan pokok yaitu menghitung determinan menggunakan metode Ekspansi Kofaktor. Sebelumnya pahami terlebih dahulu Teorema berikut. Teorema Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n, maka detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j atau detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i Sebagai contoh kita gunakan matriks sebagai matriks A yang akan kita cari determinannya. Dalam hal ini, kita akan menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama dan ekspansi kofaktor kolom kedua. Penyelesaian Untuk menentukan determinan matriks A menggunakan ekspansi kofaktor baris pertama berarti rumusnya menjadi detA = a11C11 + a12C12 + a13C13 Sehingga yang kita tentukan terlebih dahulu kofaktor C11,C12, dan karena kita telah menemukannya tadi jadi kita dapat menggunakannya langsung detA = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 2-9 + 47 + 6-8 = -18 + 28 -48 = -38 Dengan menggunakan kspansi kofaktor kolom kedua detA = a12C12 + a22C22 + a32C32 = 47 + 1-16 + 5-10 = 28 -16 - 50 = -38 Untuk menentukan determinan 3x3, 4x4, 5x5 dan seterusnya kita dapat menggunakan metode ini. Namun, mungkin pengerjaannya mungkin akan menjadi lebih panjang. Walaupun konsep dasar minor dan kofaktor sama, akan tetapi terdapat perbedaan penggunaan minor dan kofaktor dalam menghitung determinan dan invers matriks 3×3. Dalam determinan, minor-kofaktor yang dihitung hanya terbatas pada baris atau kolom tertentu saja dan biasa disebut ekspansi baris dan ekspansi kolom. Sedangkan dalam invers, kita harus menghitung sembilan elemen minor dan kofaktor sampai diperoleh matriks baru yaitu matriks minor dan matriks kofaktor. Minor Definisi minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya dihilangkan. Minor dilambangkan dengan “Mij” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks yang dihilangkan. Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut hanya tidak diikutsertakan dalam submatriks yang baru. Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn. Misalnya matriks persegi 3×3 maka submatriksnya berordo 2×2. Jadi, menghitung minor matriks 3×3 adalah menghitung determinan submatriks 2×2. Contoh M12 = baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan Contoh M23 = baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan Kofaktor Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor dilambangkan dengan “Cij” dan dapat dihitung dengan rumus Contoh Cara mudah untuk mengetahui nilai kofaktor, yaitu Jika i + j = bilangan genap maka kofaktor bernilai positif Dan jika i + j = bilangan ganjil maka kofaktor bernilai negatif Sebenarnya tanpa menghitung satu persatu kita bisa dengan mudah mengetahui tanda kofaktor matriks. Caranya cukup tuliskan tanda positif dan negatif secara bergantian di depan lambang minor. Seperti yang saya tulis sebelumnya bahwa terdapat perbedaan cara menghitung determinan dan invers matriks 3×3. Oleh karena itu, untuk selanjutnya pembahasan minor-kofaktor dalam invers bisa dibaca dalam invers matriks ordo 3×3. Sedangkan pembahasan ini berlanjut ke determinan metode ekspansi kofaktor yaitu ekspansi baris dan kolom. > Ekspansi Baris Ekspansi baris dimulai dari setiap elemen kolom pertama atau elemen dengan nilai j = 1 ai1 dan arahnya bergerak secara mendatar sepanjang jumlah kolom matriks. Pembahasan materi ini juga dapat di tonton dalam video ekspansi baris kofaktor 3×3. Rumus umum determinan ekspansi baris Kenapa tandanya + plus semua? Karena tanda plus atau minus ditentukan oleh kofaktor dan ekspansi baris mana yang digunakan. Jika ekspansi baris ganjil misalnya ekspansi baris pertama dan baris ketiga, maka tandanya dimulai dengan positif. Dan jika ekspansi baris genap seperti ekspansi baris kedua dan baris keempat, maka rumusnya dimulai dengan tanda negatif. Dan hal yang hampir sama juga berlaku pada rumus umum ekspansi kolom. Jadi, berdasarkan pola rumus umum tersebut dapat ditentukan tiga rumus determinan ekspansi baris matriks 3×3, yaitu Ekspansi baris pertama Ekspansi baris kedua Ekspansi baris ketiga Meskipun mudah namun tanda kofaktor justru yang paling sering menjadi penyebab kesalahan menghitung determinan. Jadi, telitilah dalam menuliskan rumus ekspansi! Contoh Soal hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor! Penyelesaian Ekspansi Baris Pertama Rumus manapun ekspansi baris ke-1, ke-2, atau ke-3 yang digunakan akan menghasilkan nilai determinan yang sama yaitu 17. Coba anda hitung sendiri jika hasilnya berbeda kemungkinan salah perhitungan. Lalu untuk apa ada tiga rumus jika salah satunya saja sudah bisa menghitung determinan? Jawabannya adalah “elemen nol”. Maksudnya jika suatu matriks memiliki satu atau beberapa elemen nol, maka perhitungan determinannya bisa lebih cepat. Kemudian karena posisi elemen nol bisa berada di baris pertama, kedua atau ketiga. Maka, disinilah fungsi dari ketiga rumus ekspansi baris dalam menghitung determinan. Satu Elemen Nol Jika hanya ada satu elemen nol, perhitungan determinan bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom. Dengan syarat gunakanlah baris atau kolom yang berisi elemen nol. Contoh soal Penyelesaian Ekspansi baris kedua Dua Elemen Nol Pertama, dua elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris seperti contoh diatas. Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama. Contoh soal Penyelesaian Ekspansi baris ketiga Tiga elemen nol Pertama, tiga elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol. Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama, gunakan cara dua elemen nol. Ketiga, tiga elemen nol dalam baris yang sama, maka nilai determinan = 0. Contoh Soal hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor! Penyelesaian Ekspansi baris kedua Ekspansi Kolom Ekspansi kolom diawali dari setiap elemen baris pertama atau elemen dengan nilai i = 1 a1j dan arahnya bergerak menurun sepanjang jumlah baris matriks. Rumus umum determinan ekspansi kolom Kemudian tiga rumus determinan ekspansi kolom matriks 3×3, yaitu Ekspansi kolom pertama Ekspansi kolom kedua Ekspansi kolom ketiga Berikut ini contoh perhitungan determinan matriks dengan salah satu rumus ekspansi kolom. Contoh Soal hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor! Penyelesaian Ekspansi kolom pertama Seperti halnya ekspansi baris, penggunaan rumus ekspansi kolom disesuaikan dengan posisi dan jumlah elemen nol dalam matriks. Satu Elemen Nol Jika hanya ada satu elemen nol, bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom. Contoh soal Penyelesaian Ekspansi kolom ketiga Dua elemen nol Pertama, dua elemen nol dalam dua baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris atau kolom seperti contoh diatas. Kedua, dua elemen nol dalam kolom yang sama. Contoh soal Penyelesaian Ekspansi Kolom Kedua Tiga elemen nol Caranya hampir sama dengan tiga elemen nol yang dibahas sebelumnya. Pertama, tiga elemen nol dalam tiga baris atau kolom berbeda, maka hitung dengan cara satu elemen nol. Kedua, dari tiga elemen nol, dua diantaranya dalam kolom yang sama. Maka, caranya seperti dua elemen nol. Ketiga, jika tiga elemen nol dalam satu kolom, maka nilai determinan = 0. Contoh Soal hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor! Penyelesaian Ekspansi kolom pertama Metode determinan selanjutnya mempunyai cara yang berbeda, yaitu mengubah matriks menjadi matriks segitiga atas dan bawah. Ya, apalagi kalau bukan metode Operasi Baris Elementer. Atau mungkin anda mencari pembahasan minor-kofaktor dalam invers matriks 3×3. DETERMINAN MATRIKS 3×3 SARRUS > EKSPANSI KOFAKTOR > OBE